Question

【題目】如圖1，拋物線y＝-x2＋2x＋3與x軸交于A，B，與y軸交于C，拋物線的頂點為D，直線l過C交x軸于E(4，0)．

(1)寫出D的坐標和直線l的解析式；

(2)P(x，y)是線段BD上的動點(不與B，D重合)，PF⊥x軸于F，設四邊形OFPC的面積為S，求S與x之間的函數關系式，并求S的最大值；

(3)點Q在x軸的正半軸上運動，過Q作y軸的平行線，交直線l于M，交拋物線于N，連接CN，將△CMN沿CN翻折，M的對應點為M′，在圖2中探究：是否存在點Q，使得M′恰好落在y軸上？若存在，請求出Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）D（1，4），y=-x+3；（2）S=-（x-）2+，當x=時，S有最大值，最大值為；（3）Q的坐標為（，0）或（4，0）．

【解析】

試題分析：（1）先把拋物線解析式配成頂點式即可得到D點坐標，再求出C點坐標，然后利用待定系數法求直線l的解析式；

（2）先根據拋物線與x軸的交點問題求出B（3，0），再利用待定系數法求出直線BD的解析式為y=-2x+6，則P（x，-2x+6），然后根據梯形的面積公式可得S=-x2+x（1≤x≤3），再利用而此函數的性質求S的最大值；

（3）如圖2，設Q（t，0）（t＞0），則可表示出M（t，-t+3），N（t，-t2+2t+3），利用兩點間的距離公式得到MN=|t2-t|，CM=t，然后證明NM=CM得到|t2-t|=t，再解絕對值方程求滿足條件的t的值，從而得到點Q的坐標．

試題解析：（1）∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴D（1，4），

當x=0時，y=-x2+2x+3=3，則C（0，3），

設直線l的解析式為y=kx+b，

把C（0，3），E（4，0）分別代入得，解得，

∴直線l的解析式為y=-x+3；

（2）如圖（1），當y=0時，-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，則B（3，0），

設直線BD的解析式為y=mx+n，

把B（3，0），D（1，4）分別代入得，解得，

∴直線BD的解析式為y=-2x+6，

則P（x，-2x+6），

∴S=（-2x+6+3）x=-x2+x（1≤x≤3），

∵S=-（x-）2+，

∴當x=時，S有最大值，最大值為；

（3）存在．

如圖2，設Q（t，0）（t＞0），則M（t，-t+3），N（t，-t2+2t+3），

∴MN=|-t2+2t+3-（-t+3）|=|t2-t|，

CM==t，

∵△CMN沿CN翻轉，M的對應點為M′，M′落在y軸上，

而QN∥y軸，

∴MN∥CM′，NM=NM′，CM′=CM，∠CNM=∠CNM′，

∴∠M′CN=∠CNM，

∴∠M′CN=∠CNM′，

∴CM′=NM′，

∴NM=CM，

∴|t2-t|=t，

當t2-t=t，解得t1=0（舍去），t2=4，此時Q點坐標為（4，0）；

當t2-t=-t，解得t1=0（舍去），t2=，此時Q點坐標為（，0），

綜上所述，點Q的坐標為（，0）或（4，0）．