Question

【題目】如圖，AB是半圓的直徑，過圓心O作AB的垂線，與弦AC的延長線交于點(diǎn)D，點(diǎn)E在OD上．

（1）求證：CE是半圓的切線；

（2）若CD=10，，求半圓的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；(2)

【解析】分析: （1）連接CO，由且OC=OB,得,利用同角的余角相等判斷出∠BCO+∠BCE=90°，即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)AC=2x，由根據(jù)題目條件用x分別表示出OA、AD、AB，通過證明△AOD∽△ACB，列出等式即可.

詳解：（1）證明：如圖，連接CO.

∵AB是半圓的直徑，

∴∠ACB=90°.

∴∠DCB=180°-∠ACB=90°.

∴∠DCE+∠BCE=90°.

∵OC=OB,

∴∠OCB=∠B.

∵，

∴∠OCB=∠DCE.

∴∠OCE=∠DCB=90°.

∴OC⊥CE.

∵OC是半徑，

∴CE是半圓的切線.

（2）解：設(shè)AC=2x，

∵在Rt△ACB中，,

∴BC=3x.

∴.

∵OD⊥AB,

∴∠AOD=∠ACB=90°.

∵∠A=∠A，

∴△AOD∽△ACB.

∴.

∵，AD=2x+10,

∴.

解得 x=8.

∴.

則半圓的半徑為.