Question

如圖，已知矩形ABCB中，CH⊥BD于點H，P為AD上的一個動點(點P與點A、D不重合)，CP與BD交于點E，若CH＝，DH∶CD＝5∶13，設AP＝x，四邊形ABEP的面積為y．

(1)求BD的長；

(2)求y與x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)當四邊形ABEP的面積是△PED面積的5倍時，連結BP，判斷△PAB與△PDC是否相似，如果相似，求出相似比；如果不相似，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(見答圖) 　　(1)∵DH∶CD＝5∶13， 　　∴設DH＝5k(k＞0)，則CD＝13k． 　　∵CH⊥BD于點H， 　　在Rt△CHD中，由勾股定理， 　　CH2＋DH2＝CD2． 　　∴CH＝ 　�。�＝12k． 　　∵CH＝，∴12k＝，k＝． 　　∴DC＝5，DH＝． 　　又∵四邊形ABCD是矩形， 　　∴∠BCD＝． 　　∴DC2＝DH·BD，BD＝＝13． 　　(2)在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理BC＝12． 　　∴AD＝12． 　　∵AP＝x，∴PD＝12－x． 　　過E點作EF⊥AD于F，延長FE交BC于點M，則EM⊥BC． 　　∵AD∥BC，∴△EDP∽△EBC． 　　∴＝． 　　∵EF＋EM＝5，∴EM＝5－EF． 　　∴=， 　　∴EF＝． 　　∴S△PED＝(12－x)· 　�。�． 　　∵S△ABD＝AB·AD＝＝30， 　　又∵S四邊形ABEP＝S△ABD－S△PED， 　　∴y＝30－， 　　其中0＜x＜12． 　　(3)∵S四邊形ABEP＝5S△PED， 　　∴S四邊形ABEP＝S△ABD＝25． 　　∴30－＝25． 　　整理，得 　　x2－22x＋96＝0． 　　解得：x1＝6，x2＝16． 　　經檢驗，x1＝6，x2＝16都是原方程的根，但x2＝16不合題意，舍去． 　　∴x＝6，即AP＝6． 　　當AP＝6時，P為AD的中點， 　　則△PAB≌△PDC． 　　∴△PAB與△PDC相似，相似比為1．