Question

如圖，AD為圓內接三角形ABC的外角∠EAC的平分線，它與圓交于點D，F(xiàn)為BC上的點．
（1）求證：BD=DC；
（2）請你再補充一個條件使直線DF一定經過圓心，并說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵∠CDB=∠CAB，∠CAD=∠CBD，
∴∠CBD+∠CDB=∠CAB+∠CAD；
∴∠DAE=∠DCB；
又∵AD是角平分線，
∴∠DAE=∠DAC=∠DBC=∠DCB；
∴△DCB是等腰三角形，
∴DC=DB；

（2）解：若F為BC中點，則DF經過圓心；
∵△DBC是等腰三角形，
∴DF是底邊中線；
∵圓內接三角形圓心是三邊中垂線的交點，
∴DF必過圓心．
分析：（1）先有圓周角定理得出∠DAE=∠DCB，再有角平分線的性質可得出∠EAD=∠DAC，判斷出△DCB是等腰三角形，由等腰三角形的性質即可得出結論；
（2）根據等腰三角形的性質及圓內接四邊形的性質可知若F為BC中點，則DF經過圓心．
點評：本題考查的是圓內接四邊形的性質及圓周角定理、等腰三角形的判定及性質，能根據圓周角定理得出△DCB是等腰三角形是解答此題的關鍵．