Question

【題目】如圖1，在正方形中，，為對角線上的一點，連接和．

（1）求證：；

（2）如圖2，延長交于點，為上一點，連接交于點，且有．

①判斷與的位置關系，并說明理由；

②如圖3，取中點，連接、，當四邊形為平行四邊形時，求的長．

Answer 1

【答案】(1)證明步驟見解析;(2) ①EF⊥AM，理由見解析;②

【解析】

(1)證明△ABM≌△CBM(SAS)即可解題,

(2) ①由全等的性質和等邊對等角的性質等量代換得到∠ECF=∠AEF,即可解題,

②過點E作EH⊥CD于H,先證明四邊形EBCH是矩形,再由平行四邊形的性質得到E,G是AB的三等分點,最后利用斜邊中線等于斜邊一半即可解題.

解 (1)在四邊形ABCD中,AB=BC,∠ABM=∠CBM=45°,BM=BM

∴△ABM≌△CBM(SAS)

∴AM=CM

(2) ①EF⊥AM

由(1)可知∠BAM=∠BCM,

∵CE=EF,

∴∠ECF=∠EFC,

又∵∠EFC=∠AEF,

∴∠ECF=∠AEF,

∴∠AEF+∠BAM=∠BCM+∠ECF=90°,

∴∠ANE=90°,

∴EF⊥AM

②過點E作EH⊥CD于H,

∵EC=EF,

∴H是FC中點(三線合一),∠EHC=90°,

在正方形ABCD中,∠EBC=∠BCH=90°,

∴四邊形EBCH是矩形,

∴EB=HC,

∵四邊形AECF是平行四邊形,G為AE中點,

∴AE=CF,BE=DF

∴CH=HF=DF

同理AG=EG=BE

∵AB=1

∴AE=

由①可知∠ENA=90°,

∴NG=(斜邊中線等于斜邊一半)