Question

如圖，在平面直角標系中，已知點A（0，6），B（8，0），動點P從點A開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，同時點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動，設點P、Q移動的時間為t秒．
（1）求直線AB的解析式；
（2）求t為何值時，△APQ與△AOB相似？并求出此時點P與點Q的坐標；
（3）當t為何值時，△APQ的面積為

24

5

個平方單位？

Answer 1

分析：（1）用待定系數(shù)法可直接求出直線AB的解析式；
（2）用含t的代數(shù)式表示AP、AQ，根據(jù)三角形相似的對應關系，利用相似比求出時間t；再利用相似比可求點P與點Q的坐標；
（3）利用相似比求出△APQ的AP邊上的高，根據(jù)面積公式列方程求t．

解答：解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b，
則

b=6 8k+b=0

解得

k=- 3 4 b=6

∴y=-

3

4

x+6；

（2）由題意可知AO=6，BO=8，則AB=10，且AP=t，BQ=2t，△APQ與△AOB相似有兩種情況：
①當∠APQ=∠AOB時，如圖（1），有

AP

AO

=

AQ

AB

，即

t

6

=

10-2t

10

，解得t=

30

11

，
則OP=6-

30

11

=

36

11

，則P的坐標是：（0，

36

11

），
∵∠APQ=∠AOB，
∴PQ∥OB
∴

AP

OA

=

PQ

OB

，
則

30 11

6

=

PQ

8

，解得：PQ=

40

11

，
則Q的坐標是：（

40

11

，

36

11

）；
②當∠AQP=∠AOB時，如圖（2），有

AQ

AO

=

AP

AB

，即

t

10

=

10-2t

6

，解得t=

50

13

，
則OP=OA-AP=6-

50

13

=

28

13

，
則P的坐標是：（0，

28

13

），
作QM⊥y軸，于M點．
△OAB與△QAP的相似比是：

t

10

=

5

13

，
△OAB的面積是：

1

2

OA•OB=

1

2

×6×8=24，
則△QAP的面積是：24×（

5

13

）²=

600

169

，
∵S_△QAP=

1

2

AP•MQ，即

600

169

=

1

2

×

50

13

•MQ，
解得：MQ=

60

13

，
∵MQ∥OB
∴

AM

OA

=

MQ

OB

，
則

AM

6

=

60 13

8

，解得：AM=

54

13

，
則OM=

24

13

故Q的坐標是：（

24

13

，

60

13

）；

（3）過Q作QH⊥OA于H，如圖，
∴△AHQ∽△AOB，
∴

QH

OB

=

AQ

AB

，
∴

HQ

8

=

10-2t

10

，
∴HQ=

4

5

（10-2t），
∴

1

2

•t•

4

5

（10-2t）=

24

5

，
解得t=2或t=3．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求直線解析式，直角坐標系中的相似性質(zhì)的運用，面積等問題．