Question

【題目】如圖，AB是半圈O的直徑，率徑OC⊥AB，OB=4，D是OB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AE，DE．

（1）當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，求△ADE的面積

（2）若tan∠AED=，求AE的長，

（3）點(diǎn)F是半徑OC上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)E到直線OC的距離為m.

①當(dāng)△DEF是等腰直角三角形時(shí)，求m的值．

②延長DF交半圓弧于點(diǎn)G，若AG=EG，AG∥DE，直接寫出DE的長.

Answer 1

【答案】（1）6（2）（3）①-1或2或2；②DE=

【解析】

（1）因?yàn)辄c(diǎn)E是弧BC的中點(diǎn)，連接OE，BE，利用45°構(gòu)造直角三角形，利用相似三角形的性質(zhì)建立方程即可．

（2）條件中有三角函數(shù)，所以作DF⊥AE構(gòu)造直角三角形，接著出現(xiàn)平行相似，利用AD與AB之比，表示AF，用△AFD建立勾股關(guān)系方程．

（3）①分別以D、E、F為直角端點(diǎn)分類討論，用全等和相似三角形結(jié)論建立方程求解．

②需要導(dǎo)角證明△BDE為等腰三角形，用勾股定理求出AG，用△AOG～△DEB求出DE

（1）如圖，作EH⊥AB，連接OE，EB

設(shè)DH=a，則HB=2-a，OH=2+a

∵點(diǎn)E是弧BC中點(diǎn)

∴∠COE=∠EOH=45°

∴EH=OH=2+a

在Rt△AEB中，EH2=AHBH

（2+a）2=（6+a）（2-a）

解得a=±22

∴a=22

S△ADE=6

（2）如圖，作DF⊥AE，垂足為F，連接BE

設(shè)EF=2x，DF=3x

∵DF∥BE

∴

∴

∴AF=6x

在Rt△AFD中，AF2+DF2=AD2

（6x）2+（3x）2=（6）2

解得x=

AE=8x=；

（3）①當(dāng)點(diǎn)D為等腰直角三角形直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖

設(shè)DH=a

可證△ODF≌△EDH

∴OD=EH=2

在Rt△ABE中，EH2=AH2BH2

（2）2=（6+a）2（2-a）2

解得a=±22

m=2

當(dāng)點(diǎn)E為等腰直角三角形直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖

可證△EFG≌△EDH

設(shè)DH=a，則GE=a，EH=CG=2+a

在Rt△ABE中，EH2=AH2BH2

（2+a）2=（6+a）2+（2-a）2

解得a=±22

∴m=2

當(dāng)點(diǎn)F為等腰直角三角形直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖

可證△EFM≌△ODF

設(shè)OF=a，則ME=a，MF=OD=2

∴EH=a+2

在Rt△ABE中，EH2=AHBH

（a+2）2=（4+a）（4-a）

解得a=±1

m=1

②可證△BDE為等腰三角形

BD=BE=2

∵△AOF∽△ABE

∴OF=1

在Rt△OFA中，由勾股定理可得AF=

GF=3

勾股定理可得AG=2

∵△AOG∽△DEB

∴

∴DE=