Question

在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延長線于點(diǎn)G．一等腰直角三角尺按如圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點(diǎn)為F，一條直角邊與AC邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經(jīng)過點(diǎn)B． （1）在圖1中請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量BF與CG的長度，猜想并寫出BF與CG滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想； （2）當(dāng)三角尺沿AC方向平移到圖2所示的位置時(shí)，一條直角邊仍與AC邊在同一直線上，另一條直角邊交BC邊于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BA于點(diǎn)E．此時(shí)請(qǐng)你通過觀察、測(cè)量DE、DF與CG的長度，猜想并寫出DE+DF與CG之間滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想； （3）當(dāng)三角尺在（2）的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)平移到圖3所示的位置（點(diǎn)F在線段AC上，且點(diǎn)F與點(diǎn)C不重合）時(shí)，（2）中的猜想是否仍然成立（不用說明理由）．

Answer 1

∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，∴△FDC?△HCD（AAS）∴DF=CH，∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG．

解：（1）BF=CG；證明：在△ABF和△ACG中 ∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC ∴△ABF≌△ACG（AAS） ∴BF=CG；     （2）DE+DF=CG； 證明：過點(diǎn)D作DH⊥CG于點(diǎn)H（如圖2）  ∵DE⊥BA于點(diǎn)E，∠G=90°，DH⊥CG ∴四邊形EDHG為矩形 ∴DE=HG，DH∥BG ∴∠GBC=∠HDC ∵AB=AC ∴∠FCD=∠GBC=∠HDC 又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC ∴△FDC≌△HCD（AAS） ∴DF=CH ∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG； （3）仍然成立． 證明：過點(diǎn)D作DH⊥CG于點(diǎn)H（如圖3） ∵DE⊥BA于點(diǎn)E，∠G=90°，DH⊥CG ∴四邊形EDHG為矩形， ∴DE=HG，DH∥BG， ∴∠GBC=∠HDC， ∵AB=AC， ∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC， ∴△FDC≌△HCD（AAS） ∴DF=CH， ∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG．