Question

【題目】在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，過點O的拋物線y＝ax2﹣7ax與x軸正半軸交于點A，點D為第三象限拋物線上一點，AD交y軸于點B，OA＝2OB，點D縱坐標為﹣4．

（1）如圖1，求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點P為第一象限拋物線上一點，過點P作PE⊥x軸，垂足為E，PD交y軸于點C，連接CE，求證：CE∥AD；

（3）如圖3，在（2）的條件下，將線段EC繞點E順時針旋轉90°，使點C恰好落在拋物線的點F處，連接OP，點Q為線段OP上一點，若∠FQC＝135°，求點Q坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)題意求得點A、B的坐標，再由相似的到D點的坐標即可得到解析式；

（2）過點D作軸交PE延長線于M，設點P橫坐標為m，通過三角函數(shù)可知，進而根據(jù)平行線的判定定理即可得到；

（3）通過構造正方形CEFG，過點F作于T，根據(jù)正方形的性質(zhì)可證，進而再由圓的內(nèi)接四邊形的特征及三角形全等的性質(zhì)及判定即可求出Q點坐標.

解：（1）過點D作軸與H

令，則

即點A、B的坐標分別為

∵，∴，解得：

∴點，代入解析式得：

解得：

∴函數(shù)的表達式為解析式為：；

（2）過點D作軸交PE延長線于M，設點P橫坐標為m

∵

∴

∴

∴

∵

∴

∴；

（3）構造正方形CEFG，過點F作于T

∵點

∴，

∴

∴，

∴

∴

∴

∴點F坐標為代入二次函數(shù)解析式并解得：

∴點

過F作于S

∵

∴為等腰直角三角形

∵四邊形FGCS對角互補

∴ F，G，C，S四點共圓

連接GS，過點G作交SF延長線于L

∵F，G，C，S四點共圓

∴

∵

∴

又∵

∴

∴

∴

∴

∵

∴

∴

∵點

∴OP解析式為

設點

∵，

∴

解得或（舍）

∴點Q坐標為．