Question

已知關(guān)于x的方程x²-（m+2）x+2m-1=0．
（1）試說(shuō)明：方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若此方程的一個(gè)根是1，請(qǐng)求出方程的另一個(gè)根，并求以此兩根為邊長(zhǎng)的等腰三角形面積．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系,等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）先計(jì)算判別式、整理得到△=（m-2）²+4，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)△＞0，然后根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論；
（2）先把x=1代入原方程求出m=2，則方程變形為x²-4x+3=0，利用因式分解法得到x₁=1，x₂=3，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出等腰三角形的腰長(zhǎng)為3，底邊為1，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理求出底邊上的高，再利用三角形面積公式即可求解．

解答：（1）證明：△=（m+2）²-4（2m-1）
=（m-2）²+4，
∵（m-2）²≥0，
∴△＞0，
∴方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）解：把x=1代入方程得1-（m+2）+2m-1=0，解得m=2，
∴原方程變形為x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，即方程另一根為3，
如果1為腰，∵1+1＜2，∴不滿足三角形三邊關(guān)系定理，
如果3為腰，∵1+3＞3，∴滿足三角形三邊關(guān)系定理，
此時(shí)底邊上的高為

32-0．52

=

35

2

，
∴以此兩根為邊長(zhǎng)的等腰三角形面積=

1

2

×1×

35

2

=

35

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的解和等腰三角形的性質(zhì)．