Question

如圖，拋物線y=-

4

9

x²+

8

3

x+2與y軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求線段PA與PB中較長(zhǎng)的線段減去較短的線段的差的最小值與最大值，并求出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)拋物線的解析式求得A的坐標(biāo)，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)P（x，0），根據(jù)當(dāng)PA=PB是線段PA與PB的差的最小，即可求得最小值和P的坐標(biāo)；根據(jù)當(dāng)P、A、B在一條直線上時(shí)，線段PA與PB的差最大，根據(jù)PB=PA+AB即可求得最大值和最大值時(shí)P的坐標(biāo)．

解答：解：∵拋物線y=-

4

9

x²+

8

3

x+2與y軸交于點(diǎn)A，
∴A（0，2），
∵y=-

4

9

x²+

8

3

x+2=-

4

9

（x-3）²+6，
∴頂點(diǎn)B（3，6），
設(shè)P（x，0），
當(dāng)PA=PB是線段PA與PB的差的最小，PA-PB=0，
∵A（0，2），B（3，6），
∴PA²=x²+2²=x²+4，PB²=（x-3）²+6²，
∴x²+4=（x-3）²+6²，解得：x=

41

6

，
∴P（

41

6

，0），
當(dāng)P、A、B在一條直線上時(shí)，線段PA與PB的差的最大；
∵A（0，2），B（3，6），
∴PA=

x2+22

，PB=

(x-3)2+62

，AB=

32+(6-2)2

=5，
∴PB=PA+AB，即

(x-3)2+62

=5+

x2+22

，
解得x=-

3

2

，
∴P（-

3

2

，0）．PA=

5

2

，PB=

15

2

，
∴PB-PA=5，
所以線段PA與PB中較長(zhǎng)的線段減去較短的線段的差的最小值是0，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

41

6

，0）；線段PA與PB中較長(zhǎng)的線段減去較短的線段的差的最大值為5，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

3

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，當(dāng)P、A、B在一條直線上時(shí)，線段PA與PB的差的最大是關(guān)鍵．