Question

19．如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC⊥BC，AC=BC=2，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向終點(diǎn)C移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P分別作PM∥AB，交BC于M，PN∥AD，交DC于N．連結(jié)AM．
（1）四邊形PMCN的形狀有可能是菱形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)AP=1時(shí)，四邊形PMCN的面積與△ABM的面積是否相等？

Answer 1

分析 （1）由題可知，四邊形PMCN是一個(gè)平行四邊形，而要想成為一個(gè)菱形，則必須有鄰邊相等，如PM=MC，而PM和MC同在一直角三角形中，且PM為斜邊＞直角邊MC，因此不會(huì)為菱形；
（2）在等腰直角△ABC中利用三角函數(shù)求得AC的長(zhǎng)，則PC即可求得，從而求得CM的長(zhǎng)，則△ABM和四邊形PMCN的面積即可求得，即可作出判斷．

解答 解：（1）四邊形PMCN不可能是菱形．
點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△PCM始終是一個(gè)直角三角形
斜邊PM大于直角邊MC
∴四邊形PMCN不可能是菱形；

（2）在等腰直角△ABC中，AB=2，則AC=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$，
當(dāng)AP=1時(shí)，PC=CM=$\sqrt{2}$-1．BM=2-（$\sqrt{2}$-1）=3-$\sqrt{2}$．
則S_△ABM=$\frac{1}{2}$BM•AC=$\frac{1}{2}$（3-$\sqrt{2}$）×$\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-1．
S_{四邊形PMCN}=MC•PC=（3-$\sqrt{2}$）（$\sqrt{2}$-1）=4$\sqrt{2}$-1．
則四邊形PMCN的面積與△ABM的面積不相等．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的判定與三角形的面積的計(jì)算，正確求得MC和PC的長(zhǎng)是關(guān)鍵．