Question

18．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，BE、DF分別是∠ABC、∠ADC的平分線，且與對角線AC分別相交于點E、F．
（1）求證：AE=CF；
（2）連結(jié)ED、FB，判斷四邊形BEDF是否是平行四邊形，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)先得出∠BEC=∠DFA，然后再證∠ACB=∠CAD，再證出△ABE≌△CDF，從而得出AE=CF；
（2）連接BD交AC于O，則可知OB=OD，OA=OC，又AE=CF，所以O(shè)E=OF，然后依據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可證明．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，∠ABC=∠CDA，AB∥CD∴∠BAC=∠DCA，
∵BE、DF分別是∠ABC、∠ADC的平分線，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠CDF=$\frac{1}{2}$∠ADC
∴∠ABE=∠CDF，
∴△ABE≌△CDF （ASA），
∴AE=CF；

（2）是平行四邊形；
連接BD交AC于O，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=CO，BO=DO
∵AE=CF，
∴AO-AE=CO-CF．
即EO=FO．
∴四邊形BEDF為平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵尋找兩條線段所在的三角形，然后證明兩三角形全等．