Question

（2013•江東區(qū)模擬）如圖，?ABCD的對角線AC和BD相交于點O，AE垂直平分BC，分別交BD、BC于點F、E，已知sin∠BAE=

3

5

．
（1）求

AB

AD

的值；
（2）若AB=10，求AO和AF的值．

Answer 1

分析：（1）由AE垂直平分BC得到AB=AC，∠AEB=90°，BE=CE，根據(jù)正弦的定義得sin∠BAE=

BE

AB

=

3

5

，設(shè)BE=3x，則AB=5x，CE=3x，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AD=6x，再計算

AB

AD

；
（2）由AB=10，則5x=10，解得x=2，所以AC=10，BE=6，AD=12，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AO=

1

2

AC=5，利用勾股定理計算出BE=8，由AD∥BC得到△ADF∽△EBF，利用相似可得到EF=

1

2

AF，然后利用EF+AF=AE=8計算即可求出AF．

解答：解：（1）∵AE垂直平分BC，
∴AB=AC，∠AEB=90°，BE=CE，
在Rt△ABE中，sin∠BAE=

BE

AB

=

3

5

，
設(shè)BE=3x，則AB=5x，CE=3x，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD=BC=3x+3x=6x，
∴

AB

AD

=

5x

6x

=

5

6

；
（2）∵AB=10，
∴5x=10，解得x=2，
∴AC=10，BE=6，AD=12，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AO=

1

2

AC=5，
在Rt△ABE中，AE=

AB2-BE2

=8，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴

AF

EF

=

AD

EB

=2，
∴EF=

1

2

AF，
∴

1

2

AF+AF=AE=8，
∴AF=

16

3

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：平行于三角形一邊的直線被其他兩邊所截得的三角形與原三角形相似；相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角相等．也考查了平行四邊形的性質(zhì)．