Question

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90⁰，AB=2BC=2CD，對角線AC與BD相交于點O，線段OA、OB的中點分別為點E、F

1.求證：

2.求的值（3分）

3.若直線EF與線段AD、BC分別相交于點G、H，求的值（3分）

 

Answer 1

 

1.證明：∵EF是△OAB的中位線，

∴EF∥AB，EF=AB，

而CD∥AB，CD=AB，

∴EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC，

∴△FOE≌△DOC；（3分）

2.解：∵在Rt△ABC中，AC===BC，

∴sin∠OEF=sin∠CAB===；（3分）

3.解：∵AE=OE=OC，EF∥CD，

∴△AEG∽△ACD，

∴==，即EG=CD，

同理FH=CD，

∴==．（3分）

解析:（1）由EF是△OAB的中位線，利用中位線定理，得EF∥AB，EF=AB，又CD∥AB，CD=AB，可得EF=CD，由平行線的性質(zhì)可證△FOE≌△DOC；

（2）由平行線的性質(zhì)可知∠OEF=∠CAB，利用sin∠OEF=sin∠CAB=，由勾股定理得出AC與BC的關(guān)系，再求正弦值；

（3）由（1）可知AE=OE=OC，EF∥CD，則△AEG∽△ACD，利用相似比可得EG=CD，同理得FH=CD，又AB=2CD，代入中求值．