Question

已知△ABC，分別以AC和BC為直徑作半圓O₁，O₂，P是AB的中點.
（1）如圖1，若△ABC是等腰三角形，且AC=BC，在上分別取點E、F，使∠AO₁E=∠BO₂F，則有結論①△PO₁E≌△FO₂P，②四邊形PO₁CO₂是菱形，請給出結論②的證明；
（2）如圖2，若（1）中△ABC是任意三角形，其他條件不變，則（1）中的兩個結論還成立嗎？若成立，請給出證明；
（3）如圖3，若PC是⊙O₁的切線，求證：AB²=BC²+3AC²。

Answer 1

解：（1）∵P、O1、O2分別為AB、AC、BC的中點， ∴AP=BP，AO1=BO2，，， ∴四邊形PO1CO2是平行四邊形， ∵AC=BC， ∴PO1=PO2， ∴四邊形PO1CO2是菱形；
（2）結論①成立，結論②不成立， 結論①證明如下： ∵P、O1、O2分別為AB、AC、BC的中點， ∴AP=BP，AO1=BO2，，， 即PO1=BO2，AO1=PO2， ∴△APO1≌△BPO2（SSS）；
（3）直角三角形APC中，設AP=c，AC=a，PC=b， ∴；， 過點B作AC的垂線，交AC的延長線于D點， ∵PC⊥AD，BD⊥AD， ∴PC∥BD， 又∵AP=BP， ∴CD=a，BD=2b，BC2=2a2+4b2， ∴， ∴AB2=BC2+3AC2。