Question

設(shè)m=

a+2 a-1

+

a-2 a-1

(1≤a≤2)，求m¹⁰+m⁹+m⁸+…+m-47的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次根式有意義的條件,有理數(shù)的混合運(yùn)算

專(zhuān)題：

分析：先根據(jù)完全平方公式化簡(jiǎn)m并求出m的值，再把m的值代入，運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式得出結(jié)果．

解答：解：∵1≤a≤2，0≤a-1≤1，
∴m=

(a-1)+2 a-1 +1

+

(a-1)-2 a-1 +1

=

a-1

+1+1-

a-1

=2．
∴m¹⁰+m⁹+m⁸+…+m-47=（m¹⁰+m⁹+m⁸+…+m+1）-48
=

(m-1)(m10+m9+m8++m+1)

m-1

-48=

m11-1

m-1

-48=211-1-48
=2048-1-48=1999．
注：此題可利用關(guān)系式2⁰+2¹+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-1，運(yùn)算將更簡(jiǎn)單．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，完全平方公式的應(yīng)用及等比數(shù)列的求和公式．屬于競(jìng)賽題目，有一定難度．注意求m的值時(shí)，看清字母a的取值范圍．