Question

已知二次函數(shù)y=x²+2x+m的圖象C₁與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。
（1）求C₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）將C₁向下平移若干個(gè)單位后，得拋物線C₂，如果C₂與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-3，0），求C₂的函數(shù)關(guān)系式，并求C₂與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）若P（n，y₁），Q（2，y₂）是C₁上的兩點(diǎn)，且y₁＞y₂，求實(shí)數(shù)n的取值范圍。

Answer 1

解：（1）y=x²+2x+m=（x+1）²+m-1，對(duì)稱軸為x=-1，
∵與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，
∴C₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）；
（2）設(shè)C₂的函數(shù)關(guān)系式為y=（x+1）²+k，
把A（-3，0）代入上式得（-3+1）²+k=0得k=-4，
∴C₂的函數(shù)關(guān)系式為y=（x+1）²-4，
∵拋物線的對(duì)稱軸為x=-1，
與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-3，0），
由對(duì)稱性可知，它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）；
（3）當(dāng)x≥-1時(shí)，y隨x的增大而增大，
當(dāng)n≥-1時(shí)，∵y₁＞y₂，∴n＞2；
當(dāng)n＜-1時(shí)，P（n，y₁）的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2-n，y₁），且-2-n≥-1，
∵y₁＞y₂，
∴-2-n＞2，
∴n＜-4，
綜上所述：n＞2或n＜-4。