Question

18．將矩形紙片ABCD如圖折疊，使點B與點D重合，折痕為GH．
（1）試說明：AG=GF；
（2）試說明：四邊形DGBH是菱形；
（1）若AB=12，BC=16．求GH的長．

Answer 1

分析 （1）欲證明AG=GF，只要證明ABG≌△FDG即可．
（2）先證明四邊形DGBH是平行四邊形，再證明是菱形．
（3）作GE⊥BC于E，設(shè)AG=x，則DG=BG=16-x，在RT△ABG中利用勾股定理求出x，再在RT△GHE中利用勾股定理即可解決問題．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，GH是折痕，
∴∠A=∠F=90°，AB=DF
在△ABG和△FDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠F}\\{∠AGB=∠FGD}\\{AB=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△FDG，
∴AG=GF．
（2）證明：由折疊知BH=DH，∠BHG=∠DHG，
∵AD∥BC，
∴∠DGH=∠BHG，
∴∠DHG=∠DGH，
∴DG=DH，
∵DG平行且等于BH，
∴四邊形DGBH為平行四邊形，
∵BH=DH，
∴四邊形DGBH是菱形．
（3）解：作GE⊥BC于E，設(shè)AG=x，則DG=BG=16-x，
在RT△ABG中，AB²+AG²=BG²，列方程得：12²+x²=（16-x）²，
解得：x=3.5，
∴BE=AG=3.5，HE=BH-BE=12.5-3.5=9，
在RT△GHE中，∵GH²=GE²+EH²=12²+9²=225，
∴GH=15．

點評 本題考查翻折變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法以及菱形的判定方法，學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想，用方程的思想思考問題，屬于中考常考題型．