Question

14．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-6x+（2m+1）=0有實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁，x₂，且2x₁x₂+x₁+x₂≥20，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)判別式的意義得到△=（-6）²-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=6，x₁x₂=2m+1，再利用2x₁x₂+x₁+x₂≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的結(jié)論可確定滿足條件的m的取值范圍．

解答 解：（1）根據(jù)題意得△=（-6）²-4（2m+1）≥0，
解得m≤4；
（2）根據(jù)題意得x₁+x₂=6，x₁x₂=2m+1，
而2x₁x₂+x₁+x₂≥20，
所以2（2m+1）+6≥20，解得m≥3，
而m≤4，
所以m的范圍為3≤m≤4．

點(diǎn)評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．