Question

14．如圖所示，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以1厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動，同時點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動．
（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過3秒后，△BPD與△CQP是否全等？請說明理由；
（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？

Answer 1

分析 （1）求出BP、CQ、CP，根據(jù)全等三角形的判定推出即可；
（2）設(shè)當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為x厘米/時，時間是t小時，能夠使△BPD與△CQP全等，求出BD=5厘米，BP=t厘米，CP=（8-t）厘米，CQ=xt厘米，∠B=∠C，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出方程，求出方程的解即可．

解答 解：（1）全等，理由如下：
∵點(diǎn)P在線段BC上以1厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動，
∴BP=t厘米，
∵BC=8厘米，
∴CP=（8-t）厘米；
∵AB=AC=10厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴∠B=∠C，BD=5厘米，
∵BP=CQ=t厘米=3厘米，
∴CP=8厘米-3厘米=5厘米=BD，
在△BPD和△CQP1中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CP}&{\;}\\{∠B=∠C}&{\;}\\{BP=CQ}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
（2）設(shè)當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為x厘米/時，時間是t小時，能夠使△BPD與△CQP全等，
∵BD=5厘米，BP=t厘米，CP=（8-t）厘米，CQ=xt厘米，∠B=∠C，
∴當(dāng)BP=CQ，BD=CP或BP=CP，BD=CQ時，△BPD與△CQP全等，
即①t=xt，5=8-t，
解得：x=1（不合題意，舍去），
②t=8-t，5=xt，
解得：x=4，
即當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為4厘米/時，能夠使△BPD與△CQP全等．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，用了分類討論思想．