Question

如圖，直線y=-x+3與x，y軸分別交于點A，B，與反比例函數(shù)的圖象交于點P（2，1）．
（1）求該反比例函數(shù)的關系式；
（2）設PC⊥y軸于點C，點A關于y軸的對稱點為A′；
①求△A′BC的周長和sin∠BA′C的值；
②對大于1的常數(shù)m，求x軸上的點M的坐標，使得sin∠BMC=

1

m

．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題,待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式,勾股定理,矩形的判定與性質(zhì),垂徑定理,直線與圓的位置關系,銳角三角函數(shù)的定義

專題：壓軸題,探究型

分析：（1）設反比例函數(shù)的關系式y(tǒng)=

k

x

，然后把點P的坐標（2，1）代入即可．
（2）①先求出直線y=-x+3與x、y軸交點坐標，然后運用勾股定理即可求出△A′BC的周長；過點C作CD⊥AB，垂足為D，運用面積法可以求出CD長，從而求出sin∠BA′C的值．
②由于BC=2，sin∠BMC=

1

m

，因此點M在以BC為弦，半徑為m的⊙E上，因而點M應是⊙E與x軸的交點．然后對⊙E與x軸的位置關系進行討論，只需運用矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識就可求出滿足要求的點M的坐標．

解答：解：（1）設反比例函數(shù)的關系式y(tǒng)=

k

x

．
∵點P（2，1）在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，
∴k=2×1=2．
即反比例函數(shù)的關系式y(tǒng)=

2

x

．

（2）①過點C作CD⊥AB，垂足為D，如圖1所示．
當x=0時，y=0+3=3，
則點B的坐標為（0，3）．OB=3．
當y=0時，0=-x+3，解得x=3，
則點A的坐標為（3，0），OA=3．
∵點A關于y軸的對稱點為A′，
∴OA′=OA=3．
∵PC⊥y軸，點P（2，1），
∴OC=1，PC=2．
∴BC=2．
∵∠AOB=90°，OA′=OB=3，OC=1，
∴A′B=3

2

，A′C=

10

．
∴△A′BC的周長為3

2

+

10

+2．
∵S_△A′BC=

1

2

BC•A′O=

1

2

A′B•CD，
∴BC•A′O=A′B•CD．
∴2×3=3

2

×CD．
∴CD=

2

．
∵CD⊥A′B，
∴sin∠BA′C=

DC

A′C

=

2

10

=

5

5

．
∴△A′BC的周長為3

2

+

10

+2，sin∠BA′C的值為

5

5

．
②當1＜m＜2時，
作經(jīng)過點B、C且半徑為m的⊙E，
連接CE并延長，交⊙E于點P，連接BP，
過點E作EG⊥OB，垂足為G，
過點E作EH⊥x軸，垂足為H，如圖2①所示．
∵CP是⊙E的直徑，
∴∠PBC=90°．
∴sin∠BPC=

BC

PC

=

2

2m

=

1

m

．
∵sin∠BMC=

1

m

，
∴∠BMC=∠BPC．
∴點M在⊙E上．
∵點M在x軸上
∴點M是⊙E與x軸的交點．
∵EG⊥BC，
∴BG=GC=1．
∴OG=2．
∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°，
∴四邊形OGEH是矩形．
∴EH=OG=2，EG=OH．
∵1＜m＜2，
∴EH＞EC．
∴⊙E與x軸相離．
∴x軸上不存在點M，使得sin∠BMC=

1

m

．
②當m=2時，EH=EC．
∴⊙E與x軸相切．
Ⅰ．切點在x軸的正半軸上時，如圖2②所示．
∴點M與點H重合．
∵EG⊥OG，GC=1，EC=m，
∴EG=

EC2-GC2

=

3

．
∴OM=OH=EG=

3

．
∴點M的坐標為（

3

，0）．
Ⅱ．切點在x軸的負半軸上時，
同理可得：點M的坐標為（-

3

，0）．
③當m＞2時，EH＜EC．
∴⊙E與x軸相交．
Ⅰ．交點在x軸的正半軸上時，
設交點為M、M′，連接EM，如圖2③所示．
∵∠EHM=90°，EM=m，EH=2，
∴MH=

EM2-EH2

=

m2-22

=

m2-4

．
∵EH⊥MM′，
∴MH=M′H．
∴M′H═

m2-4

．
∵∠EGC=90°，GC=1，EC=m，
∴EG=

EC2-GC2

=

m2-12

=

m2-1

．
∴OH=EG=

m2-1

．
∴OM=OH-MH=

m2-1

-

m2-4

，
∴OM′=OH+HM′=

m2-1

+

m2-4

，
∴M（

m2-1

-

m2-4

，0）、M′（

m2-1

+

m2-4

，0）．
Ⅱ．交點在x軸的負半軸上時，
同理可得：M（-

m2-1

+

m2-4

，0）、M′（-

m2-1

-

m2-4

，0）．
綜上所述：當1＜m＜2時，滿足要求的點M不存在；
當m=2時，滿足要求的點M的坐標為（

3

，0）和（-

3

，0）；
當m＞2時，滿足要求的點M的坐標為（

m2-1

-

m2-4

，0）、（

m2-1

+

m2-4

，0）、（-

m2-1

+

m2-4

，0）、（-

m2-1

-

m2-4

，0）．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的關系式、勾股定理、三角函數(shù)的定義、矩形的判定與性質(zhì)、直線與圓的位置關系、垂徑定理等知識，考查了用面積法求三角形的高，考查了通過構造輔助圓解決問題，綜合性比較強，難度系數(shù)比較大．由BC=2，sin∠BMC=

1

m

聯(lián)想到點M在以BC為弦，半徑為m的⊙E上是解決本題的關鍵．