Question

如圖①，直角坐標(biāo)系中，等腰梯形OABC，AB∥OC，OA=BC，OC在x軸上，OC=7，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3）．拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)O、A、C三點(diǎn)．

（1）求拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c的解析式并判定點(diǎn)B是否在拋物線(xiàn)上；
（2）如圖②，若拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為M，在該拋物線(xiàn)上點(diǎn)M和點(diǎn)C之間的曲線(xiàn)上確定點(diǎn)P，使S_△CMP=S_△OAM，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若直線(xiàn)y=mx+n將等腰梯形OABC的周長(zhǎng)和面積同時(shí)分成相等的兩部分，請(qǐng)你確定y=mx+n中m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得拋物線(xiàn)的解析式；
（2）過(guò)C作x軸的垂線(xiàn)，作ME⊥x軸，交直線(xiàn)CH于點(diǎn)H，作AN⊥y軸與N．PG⊥CH于點(diǎn)G．設(shè)出P的坐標(biāo)，根據(jù)四邊形MENA的面積+△AON的面積=四邊形MHGP的面積+△PGC的面積．即可求得P的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)直線(xiàn)y=mx+n將等腰梯形OABC的面積分成相等的兩部分，分得的兩部分可能是兩個(gè)梯形，或兩個(gè)三角形，再根據(jù)將等腰梯形OABC的周長(zhǎng)平分，即可得到關(guān)于m的式子從而求解．
解答：解：（1）∵OC=7，
則C的坐標(biāo)是（7，0），
設(shè)拋物線(xiàn)的解析式是y=ax²+bx+c，
根據(jù)題意得：，
解得：，
則拋物線(xiàn)的解析式是：y=-x²+x；
∵OC=7，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3），等腰梯形OABC，AB∥OC，OA=BC，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，3），
當(dāng)x=6時(shí)，y=-×36+×6=3，
∴點(diǎn)B在拋物線(xiàn)上；

（2）過(guò)C作x軸的垂線(xiàn)，作ME⊥x軸，交直線(xiàn)CH于點(diǎn)H，作AN⊥y軸與N．PG⊥CH于點(diǎn)G．

拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是（，）
設(shè)S_△CMP=S_△OAM，則四邊形MENA的面積+△AON的面積=四邊形MHGP的面積+△PGC的面積．設(shè)P的橫坐標(biāo)是m，則縱坐標(biāo)是：-m²+m．
四邊形MENA的面積=（1+）（-3）=，△AON的面積=×1×3=；
同理：四邊形MHGP的面積=（7-m+）[-（-m²+m）]，△PGC的面積等于：（7-m）×（-m²+m）
則：（7-m+）[-（-m²+m）]+（7-m）×（-m²+m）=+
解得：m=6或
則P的坐標(biāo)是：P₁（6，3）P₂（，）；

（3）m≥或m≤-．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．