Question

17．設(shè)a，b是任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，我們規(guī)定：滿足不等式a≤x≤b的實(shí)數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為[a，b]．對(duì)于任何一個(gè)二次函數(shù)，它在給定的閉區(qū)間上都有最小值．
（1）函數(shù)y=-x²+4x-2在區(qū)間[0，5]上的最小值是-7
（2）求函數(shù)$y={（{x+\frac{1}{2}}）^2}+\frac{3}{4}$在區(qū)間$[{0，\frac{3}{2}}]$上的最小值．
（3）求函數(shù)y=x²-4x-4在區(qū)間[t-2，t-1]（t為任意實(shí)數(shù)）上的最小值y_min的解析式．

Answer 1

分析 （1）先求得拋物線的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后畫(huà)出拋物線的大致圖象，根據(jù)函數(shù)圖象可知當(dāng)x=-5時(shí)，函數(shù)值最��；
（2）先畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，然后根據(jù)函數(shù)圖象可知當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)值最小；
（3）先求得拋物線的對(duì)稱軸，然后根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸在區(qū)間[t-2，t-1]的左側(cè)、區(qū)間內(nèi)、區(qū)間右側(cè)分類討論即可．

解答 解：（1）y=-x²+4x-2其對(duì)稱軸為直線為x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），函數(shù)圖象開(kāi)口向下．
函數(shù)圖大致象如圖1所示：

當(dāng)x=5時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為-7．
故答案為：-7．
（2）$y={（{x+\frac{1}{2}}）^2}+\frac{3}{4}$，其對(duì)稱軸為直線$x=-\frac{1}{2}$，頂點(diǎn)坐標(biāo)$（{-\frac{1}{2}，\frac{3}{4}}）$，且圖象開(kāi)口向上．
其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不在區(qū)間$[{0，\frac{3}{2}}]$內(nèi)，
如圖2所示．

當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)y有最小值$y_{min}^{\;}=1$．
（3）將二次函數(shù)配方得：y=x²-4x-4=（x-2）²-8
其對(duì)稱軸為直線：x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-8），圖象開(kāi)口向上
若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間[t-2，t-1]左側(cè)，則2＜t-2，即t＞4．
當(dāng)x=t-2時(shí)，函數(shù)取得最小值：${y_{min}}={（t-4）^2}-8={t^2}-8t+8$
若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間[t-2，t-1]上，則t-2≤2≤t-1，即3≤t≤4．
當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取得最小值：y_min=-8
若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間[t-2，t-1]右側(cè)，則t-1＜2，即t＜3．
當(dāng)x=t-1時(shí)，函數(shù)取得最小值：${y_{min}}={（t-3）^2}-8={t^2}-6t+1$
綜上討論，得${y_{min}}=\left\{\begin{array}{l}{t^2}-8t+8（t＞4）\\-8（3≤t≤4）\\{t^2}-6t+1（t＜3）\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的最值，根據(jù)函數(shù)解析式畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后根據(jù)對(duì)稱軸是否在區(qū)間內(nèi)進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．