Question

已知四邊形ABCD，點E是射線BC上的一個動點（點E不與B、C兩點重合），線段BE的垂直平分線交射線AC于點P，聯結DP，PE.

（1）若四邊形ABCD是正方形，猜想PD與PE的關系，并證明你的結論.

（2）若四邊形ABCD是矩形，（1）中的PD與PE的關系還成立嗎？       （填：成立或不成立）.

（3）若四邊形ABCD是矩形，AB=6，cos∠ACD= ，設AP=x，△PCE的面積為y,當AP>AC時，求y與x之間的函數關系式.

 

Answer 1

 

（1）見解析

（2）成立

（3）見解析

解析:（1）PE＝PD，……………………………..(1分)

PE⊥PD   ……………………………..(2分)

①   點E在射線BC邊上,且交點P在對角線AC上時,連結PB

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP。

又∵AP＝AP，∴△BAP≌△DAP（SAS）。

∴PB＝PD

∵點P在BE的垂直平分線上

∴PB=PE

∴PE＝PD      

∵△BAP≌△DAP，∴∠DPA＝∠APB.

又∵∠APB＝180°－45°－∠ABP＝135°－∠ABP，

∴∠DPA＝135°－∠ABP。

又∵PE＝PB，∴∠BPE＝180°－2∠PBE

∴∠DPE＝360°－∠DPA－∠APB—∠BPE＝360°－2（135°－∠ABP）

－180°+2∠PBE  ＝360°－270°+2∠ABP－180°+2∠PBE=90°

∴PE⊥PD                           ………………………..(3分)

② P、C兩點重合

                   ………………………..(4分)

③ 當點E在BC邊的延長線上且點P在對角

線AC的延長線上時,連結PB

同理可證∴△BAP≌△DAP（SAS）。

∴ PB=PD

∴∠PBA=∠PDA

∴∠PBE=∠PDC

∵點P在BE的垂直平分線上

∴PB=PE

∴∠PBE=∠PEB

∴∠PDC=∠PEB

∴∠DFC=∠EFP

∴∠EPF =∠DCF=90°

∴PE⊥PD                …………………………………………..(5分)

結論成立         

（3）（1）中的猜想不成立.              …………………………..(6分)

（4） ①當點P在線段AC上時

∵四邊形ABCD是矩形，AB=6

∴DC=AB=6

∴∠ABC=∠ADC=90°

∵cos∠ACD= 

∴AD=8，AC=10

作PQ⊥BC于點Q

∴PQ∥AB

∴=

∴=

∴BQ=x, ∴BE=x,∴CE=x－8

∴△CPQ∽△CAB

∴=  ∴=

∴PQ=6-x

∴y=EC×PQ

=(x－8)( 6-x)

=-x²+x-24(5<x<10)          ……………………………..(7分)

②當點P在線段AC的延長線上時

∵PQ∥AB

∴△CPQ∽△CAB

 

∴=

∴=

∴PQ=x-6

∴=

∴=

∴CQ=x-8

∴BQ=x

∴BE=x

∴EC=x-8

∴y =EC×PQ

=(x－8) (x-6)

= -x+24(x>10)   ………………………………………..(8分)

 

[注]學生正確答案與本答案不同，請老師們酌情給分。