Question

如圖，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，正比例函數(shù)y=kx的圖象與雙曲線y=-

2

x

交于點A，且點A的橫坐標為-

2

．
（1）求k的值．
（2）將直線y=kx向上平移4個單位得到直線BC，直線BC分別交x軸、y軸于點B、C，如點D在直線BC上，在平面直角坐標系中求一點P，使以O、B、D、P為頂點的四邊形是菱形．

Answer 1

分析：（1）要求k值，只要知道點A的坐標就可以，而題目告訴了點A的橫坐標，將其代入雙曲線的解析式就可以求出點A的坐標，將點A的坐標代入正比例函數(shù)的解析式就可以求出k值．
（2）直線y=kx向上平移4個單位得到直線BC，∴直線BC的解析式為y=kx+4，由（1）知道OC=OB=4．∵以O、B、D、P為頂點的四邊形是菱形．∴OB=BD=DP=PO，∠OBD=∠DPO，這樣根據(jù)線段的長度就可以求出D點的坐標，根據(jù)D點的坐標就可以求出P點的坐標．

解答：解：（1）∵點A的橫坐標為-

2

，由題意得：
y=-

2

- 2

∴y=

2

A（-

2

，

2

）
∴

2

=-

2

k
∴k=-1
∴直線BC的解析式：y=-x+4

（2）∵直線BC的解析式：y=-x+4
∴OB=OD=4
∴∠OBC=45°
∵四邊形OBDP是菱形
∴OB=BD=DP=PO
∴BD₁=4，由勾股定理可以求出D₁（4-2

2

，2

2

）
∴P₁（-2

2

，2

2

）
同理得P₂（2

2

，-2

2

），P₃（4，4），D₂（4+2

2

，-2

2

），
D₃（0，4），D₄（2，2），P₄（2，-2）
綜上所述P點的坐標是P₁（-2

2

，2

2

），P₂（2

2

，-2

2

），
P₃（4，4）P₄（2，-2）
D₁（4-2

2

，2

2

），D₂（4+2

2

，-2

2

），D₃（0，4），D₄（2，2），

點評：本題是一道反比例函數(shù)綜合試題，考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點坐標等關系，菱形的判定及性質，由點的坐標求函數(shù)的解析式以及平移問題．