Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=-x²+2x+c與y鈾交于點(diǎn)D(0，3)。
（1）直接寫出c的值。
（2）若拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè))，頂點(diǎn)為C點(diǎn),求直線BC的解析式。
（3）已知點(diǎn)P是直線BC上運(yùn)動時的一個動點(diǎn)。    
①當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動時(點(diǎn)P不與B、C重合)，過點(diǎn)P作PE⊥y軸，垂足為 E，連接BE。設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，△PBE的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；    
②試探索：在直線BC上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P為圓心、r為半徑的⊙P，既與拋物線的對稱軸相切，又與以點(diǎn) C為圓心、1為半徑的⊙C外切？如果存在，試求r的值，并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由。
[提示：二次函數(shù)y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為]

Answer 1

解：( 1 ) c = 3. (2)由(1)知拋物線的解析式為y=， 配方得y=-（x-1）2+4， ∴頂點(diǎn) C 的坐標(biāo)為(1，4)         令y=0，解得 ， ∴B(3，0).             設(shè)直線BC的解析式為y = kx + b(k≠0)， 把B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入， 得 解得 ∴直線BC的解析式為y=-2x +6.       (3)①點(diǎn)P(x，y)在y= - 2x +6的圖象上， ∴PE = x，OE = -2x+6，                     ∴S =PE. OE =x(一2x +6)=-x2+ 3x，  ∴ S = - x2+ 3x( 1 < x < 3 ) ,                  S=+ 3x( 1 < x < 3 ) ,                 x=符合1 <x<3， ∴ 當(dāng)x =時，S取得最大值，最大為   ②存在.                                     如圖，設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)F， 則 CF =4，BF =2.  過P作PQ⊥CF于Q， 則Rt△CPQ∽Rt△CBF , ∴, 即， ∴CQ=2r             當(dāng)⊙P與⊙C外切時，CP=r+1 。 ∵, ∴解得，（舍去）       ∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，或。 此時，.