Question

3．已知，如圖，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，點F在邊AC上，DF與BE相交于點G，且∠EDF=∠ABE．
求證：（1）△DEF∽△BDE；
（2）△GDE∽△EDF；
（3）DG•DF=DB•EF．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，根據(jù)等邊對等角，即可證得：∠ABC=∠ACB，又由DE∥BC，易得∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°，則可證得：∠BDE=∠CED，又由已知∠EDF=∠ABE，則可根據(jù)有兩角對應相等的三角形相似，證得△DEF∽△BDE；
（2）由（1）易證得DE²=DB•EF，又由∠BED=∠DFE與∠GDE=∠EDF證得：△GDE∽△EDF；
（3）由（2）則可得：DE²=DG•DF，則證得：DG•DF=DB•EF．

解答 證明：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DE∥BC，
∴∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°．
∴∠BDE=∠CED，
∵∠EDF=∠ABE，
∴△DEF∽△BDE；

（2）由△DEF∽△BDE，得$\frac{DB}{DE}=\frac{DE}{EF}$．
∴DE²=DB•EF，
由△DEF∽△BDE，得∠BED=∠DFE．
∵∠GDE=∠EDF，
∴△GDE∽△EDF．
（3）由（2）知，△GDE∽△EDF．
∴$\frac{DG}{DE}=\frac{DE}{DF}$，
∴DE²=DG•DF，
∴DG•DF=DB•EF

點評 此題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定．注意有兩角對應相等的三角形相似以及相似三角形的對應邊成比例定理的應用，還要注意數(shù)形結(jié)合思想的應用