Question

15．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=CD，∠ACD=α，將線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CE，連接DE，AE，BD．

（1）依題意補(bǔ)全圖1；
（2）判斷AE與BD的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系并加以證明；
（3）若0°＜α≤64°，AB=4，AE與BD相交于點G，求點G到直線AB的距離的最大值．請寫出求解的思路（可以不寫出計算結(jié)果）．

Answer 1

分析 （1）由題意補(bǔ)全圖形，如圖1所示，
（2）先判斷出△BCD≌△ACE，再判斷出∠2=∠4，從而得到∠1+∠2=90°，即得到結(jié)論；
（3）先判斷出當(dāng)α=64°時GH的長度最大，然后計算出∠DBA=32°，∠GAB=58°再在表示出AH，BH用AH+BH=4建立方程求解即可．

解答 解：（1）補(bǔ)全圖形，如圖1所示．

（2）AE與BD的數(shù)量關(guān)系：AE=BD，
AE與BD的位置關(guān)系：AE⊥BD．
證明：∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+α=∠DCE+α．
即∠BCD=∠ACE．
∵BC=AC，CD=BC，
∴△BCD≌△ACE．
∴AE=BD．
∴∠4=∠CBD．
∵∠CBD=∠2，
∴∠2=∠4．
∵∠3+∠4=90°，∠1=∠3，
∴∠1+∠2=90°．
即AE⊥BD．
（3）如圖2，

過點G作GH⊥AB于H．
由線段CD的運動可知，當(dāng)α=64°時GH的長度最大．
∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∴∠CBD=$\frac{180°-90°-64°}{2}$=13°，
∴∠DBA=32°．
由（2）可知，∠AGB=90°，
∴∠GAB=58°，
在Rt△GAH中，tan∠GAB=tan58°=$\frac{GH}{AH}$，
∴AH=$\frac{GH}{tan58°}$，
在Rt△GBH中，tan∠DBA=tan32°=$\frac{GH}{BH}$，
∴BH=$\frac{GH}{tan32°}$，
∵AB=4，
∴AH+BH=4，
∴$\frac{GH}{tan58°}$+$\frac{GH}{tan32°}$=4，
∴GH=2（tan58°+tan32°）．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，判斷線垂直的方法，銳角三角函數(shù)，判斷AE⊥BD，AE=BD是解本題的關(guān)鍵．