Question

6．如圖，已知邊長為4的正方形ABCD，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（O不與A，E重合），以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與邊AD相交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作⊙O的切線交DC于點(diǎn)N，連接OM，ON．
（1）證明：BC是⊙O的切線；
（2）問OB為何值時(shí)，⊙O經(jīng)過AD的中點(diǎn)？
（3）△DMN的周長是否一個(gè)定值？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得到∠ABC=90°，根據(jù)切線的判定即可證得結(jié)論；
（2）設(shè)OB=OM=x．則AO=4-x，AM=2，根據(jù)勾股定理得x²=2²+（4-x）²，解方程即可求得結(jié)論；
（3）如圖，作BP⊥MN于點(diǎn)P，根據(jù)切線的想知道的∠PMB=$\frac{1}{2}$∠MOB，∠CBM=$\frac{1}{2}$∠MOB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CBM=∠AMB，于是得到∠AMB=∠PMB，根據(jù)切線的性質(zhì)得到AM=MP，BP=AB=BC，PN=CN，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵正方形ABCD，
∴∠ABC=90°，
∵OB為半徑，
∴BC是⊙O的切線；

（2）∵正方形ABCD，
∴∠A=90°，AB=AD=4，
∵M(jìn)是AD的中點(diǎn)，
設(shè)OB=OM=x．則AO=4-x，AM=2，
在Rt△AOM中，x²=2²+（4-x）²，
解得：x=$\frac{5}{2}$，
∴OB=$\frac{5}{2}$時(shí)，⊙O經(jīng)過AD的中點(diǎn)；

（3）如圖，作BP⊥MN于點(diǎn)P，
∵M(jìn)N，BC是⊙O的切線，
∴∠PMB=$\frac{1}{2}$∠MOB，∠CBM=$\frac{1}{2}$∠MOB，
∵AD∥BC，
∴∠CBM=∠AMB，
∴∠AMB=∠PMB，
在Rt△MAB和Rt△MPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BPM=∠BAM}\\{∠PMB=∠AMB}\\{BM=BM}\end{array}\right.$
∴Rt△MAB≌Rt△MPB（AAS）
∴AM=MP，BP=AB=BC，
在Rt△BPN和Rt△BCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=BC}\\{BN=BN}\end{array}\right.$
∴Rt△BPN≌Rt△BCN（HL）
∴PN=CN，
MN=MP+PN=AM+CN，
∴DM+DN+MN=DM+DN+AM+CN=（AM+DM）+（DN+CN）=AD+DC=8，
故△DMN的周長是一個(gè)定值8．

點(diǎn)評 本題是圓的綜合題目，考查了切線的性質(zhì)和判定、正方形的性質(zhì)、勾股定理，方程，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題主要考查了圓的切線及全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是作出輔助線利用三角形全等證明．