Question

如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c與軸交于點A（-1，0）和B，與軸交于點C（0，3）。

（1）求此拋物線的解析式及點B的坐標；
（2）設拋物線的頂點為D，連結CD、DB、CB、AC；
①求證：△AOC∽△DCB；
②在坐標軸上是否存在與原點O不重合的點P，使以P、A、C為頂點的三角形與△DCB相似？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）設Q是拋物線上一點，連結QB、QC，把△QBC沿直線BC翻折得到△Q'BC，若四邊形QBQ'C為菱形，求此時點Q的坐標。

Answer 1

解：（1）拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3
點B的坐標是（3，0）；
（2）①證明：可求得頂點D（1，4）；
OA=1，OC=OB=3，∠OCB=45°
由勾股定理求得：CD=，BC=
∴
易知：∠DCy=45° ，
故∠DCB= 90°=∠AOC
∴△AOC∽△DCB。
②存在符合條件的點P有兩個：P₁（9，0）或P₂（0，）。
（3）若四邊形QBQ'C為菱形，則QQ' 垂直平分BC
∴點Q在線段BC的垂直平分線上
∵OC=OB
∴直線QQ'平分∠BOC，
即：直線QQ'的解析式為y=x
∵點Q在拋物線y=-x²+2x+3上，
∴-x²+2x+3=x
解得x=
∴Q（，）或（，）。