Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點(diǎn)C，與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于D．

（1）求證：△ADC∽△CDB；

（2）若AC=2，AB=CD，求⊙O半徑．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】分析: （1）首先連接CO，根據(jù)CD與⊙O相切于點(diǎn)C，可得：∠OCD=90°；然后根據(jù)AB是圓O的直徑，可得：∠ACB=90°，據(jù)此判斷出∠CAD=∠BCD，即可推得△ADC∽△CDB．

（2）首先設(shè)CD為x，則AB=32x，OC=OB=34x，用x表示出OD、BD；然后根據(jù)△ADC∽△CDB，可得：ACCB=CDBD，據(jù)此求出CB的值是多少，即可求出⊙O半徑是多少．

詳解:

（1）證明：如圖，連接CO，

，

∵CD與⊙O相切于點(diǎn)C，

∴∠OCD=90°，

∵AB是圓O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACO=∠BCD，

∵∠ACO=∠CAD，

∴∠CAD=∠BCD，

在△ADC和△CDB中，

∴△ADC∽△CDB．

（2）解：設(shè)CD為x，

則AB=x，OC=OB=x，

∵∠OCD=90°，

∴OD===x，

∴BD=OD﹣OB=x﹣x=x，

由（1）知，△ADC∽△CDB，

∴=，

即，

解得CB=1，

∴AB==，

∴⊙O半徑是．

點(diǎn)睛: 此題主要考查了切線(xiàn)的性質(zhì)和應(yīng)用，以及勾股定理的應(yīng)用，要熟練掌握．