Question

如圖，已知A（-3，0），B（0，-4），P（m，n）為某一函數A圖象在第一象限上的任意一點，過點P作PC⊥x軸于點C，PD⊥y軸于點D．
（1）若函數A的解析式為：y=-x+5，是否存在點P，使得四邊形ABCD面積取得最值？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（2）若函數A的解析式為：，是否存在點P，使得四邊形ABCD面積取得最值？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據P點坐標得出AC，BD的長，進而利用S_{四邊形ABCD}=AC•BD得出有關m的二次函數解析式，進而求出最值即可；
（2）利用點P的坐標為（m，n），由題意可知mn=12 AC=m+3 BD=n+4，得出S_{四邊形ABCD}=AC•BD利用完全平方公式性質，進而得出四邊形ABCD面積取最小值．
解答：解（1）∵點P的坐標為（m，n），0＜m＜5，0＜n＜5，
由題意可知m+n=5，AC=m+3，BD=n+4，
則n=5-m，
∴S_{四邊形ABCD}=AC•BD=（m+3）（n+4）=（mn+12+4m+3n）
=-（m-3）²+18，
∴當 m=3時，四邊形ABCD面積取最大值為18，
四邊形ABCD面積無最小值．
∴存在點P（3，2），使四邊形ABCD面積取得最大值，不存在點P，使得四邊形ABCD面積取得最小值．

（2）∵點P的坐標為（m，n），m＞0，n＞0，
由題意可知mn=12  AC=m+3  BD=n+4，
∴S_{四邊形ABCD}=AC•BD=（m+3）（n+4）=（mn+12+4m+3n），
=12+（2m+），
=2（-）²+24，
且當m=（m＞0），即m=3時，四邊形ABCD面積取最小值為24，
四邊形ABCD面積無最大值．
∴存在點P（3，4），使四邊形ABCD面積取得最小值，不存在點P，使得四邊形ABCD面積取得最大值．
點評：此題主要考查了對角線互相垂直的四邊形面積求法以及一次函數和反比例函數圖象上點的坐標性質和二次函數最值問題等知識，根據已知表示出AC，BD的長是解題關鍵．