Question

問(wèn)題：已知一組平行直線a∥b∥c，求作等邊三角形ABC，使點(diǎn)A、B、C分別在直線a，b，c上．
小明同學(xué)作法如下：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥b于M，作∠MAN=60°，且AN=AM，過(guò)點(diǎn)N作CN⊥AN交直線c于點(diǎn)C，在直線b上取點(diǎn)B使BM=CN，則△ABC為所求．

（1）請(qǐng)證明小明的作法是正確的．
（2）請(qǐng)你參考小明的作法，在圖2中畫出頂角為30°的等腰三角形DEF，使點(diǎn)D、E、F順次在直線a，b，c，上，且∠EDF為頂角；
（3）在圖1中，若直線a，b之間的距離為1，直線b，c之間的距離為2，計(jì)算AC的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖

專題：

分析：（1）利用△AMB≌△ANC，得出AB=AC，∠CAN=∠BAM，得出∠BAC=∠MAN=60°，可證得△ABC是等邊三角形，
（2）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥b于M，作∠MAN=30°，且DN=DM，過(guò)點(diǎn)N作FN⊥DN交直線c于點(diǎn)F，在直線b上取點(diǎn)E使EM=FN，則△DEF為所求．
（3）在圖1中，過(guò)點(diǎn)N作HG⊥a于H，交c于點(diǎn)G，由勾股定理先求出CN的值就可以求出AC的值．

解答：證明：（1）∵AM⊥b于M，CN⊥AN，
∴∠AMB=∠ANC=90°，
∵AN=AM，BM=CN，
在△AMB和△ANC中，

AN=AM ∠ANC=∠AMB CN=BM

，
∴△AMB≌△ANC（SAS），
∴AB=AC，∠CAN=∠BAM
∵∠MAN=60°，
∴∠BAC=∠MAN=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥b于M，作∠MAN=30°，且DN=DM，過(guò)點(diǎn)N作FN⊥DN交直線c于點(diǎn)F，在直線b上取點(diǎn)E使EM=FN，則△DEF為所求．

（3如圖1，過(guò)點(diǎn)N作HG⊥a于H，交c于點(diǎn)G，

∴∠AHN=∠NGC=90°．
∵∠MAN=60°，
∴∠HAN=30°，
∴HN=

1

2

AN，∠ANH=60°，
∵AM=AN=1，
∴HN=0.5．
∴HG=2.5．
∵CN⊥AN，
∴∠ANC=90°，
∴∠ANH+∠CNG=90°，
∴∠CNG=30°，
∴CN=2CG，
在Rt△CGN中，由勾股定理，得
4CG²-CG²=

25

4

，
CG=

5 3

6

，
∴CN=

5 3

3

，
在Rt△ANC中，由勾股定理，得
AC²=（

5 3

3

）²+1，
AC=

2 21

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了作圖的運(yùn)用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)合理運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．