Question

19．已知AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，BP與⊙O交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為AP的中點(diǎn)．求證：直線CD是⊙O的切線．

Answer 1

分析 連接OC，證出OC⊥CD即可．首先連接AC，得出直角三角形ACP，根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半得CD=AD，再利用等腰三角形性質(zhì)可證∠OCD=∠OAD=90°，從而解決問(wèn)題．

解答 解：如圖，連接OC、AC．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BCA=90°，
又∵∠ACP=180°-∠BCA=90°．
在Rt△APC中，D為AP的中點(diǎn)，
∴CD=$\frac{1}{2}$AP=AD．
∴∠4=∠3．
又∵OC=OA，
∴∠1=∠2．
∵∠2+∠4=∠PAB=90°，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°．
即OC⊥CD．
∴直線CD是⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了圓周角定理、切線的判定與性質(zhì)．正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．