Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為正方形，已知點(diǎn)A（-6，0），D（-7，3），點(diǎn)B、C在第二象限內(nèi)．
（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)（-3，1）；
（2）將正方形ABCD以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸向右平移t秒，若存在某一時(shí)刻t，使在第一象限內(nèi)點(diǎn)B、D兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′、D′正好落在某反比例函數(shù)的圖象上，請(qǐng)求出此時(shí)t的值以及這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；
（3）在（2）的情況下，問(wèn)是否存在x軸上的點(diǎn)P和反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)Q，使得以P、Q、B′、D′四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合題意的點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，由正方形的性質(zhì)結(jié)合同角的余角相等即可證出△ADE≌△BAF，從而得出DE=AF，AE=BF，再結(jié)合點(diǎn)A、D的坐標(biāo)即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)反比例函數(shù)為y=$\frac{k}{x}$，根據(jù)平行的性質(zhì)找出點(diǎn)B′、D′的坐標(biāo)，再結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出關(guān)于k、t的二元一次方程組，解方程組解得出結(jié)論；
（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（n，$\frac{6}{n}$）．分B′D′為對(duì)角線或?yàn)檫吙紤]，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)找出關(guān)于m、n的方程組，解方程組即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖1所示．

∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∵∠EAD+∠ADE=90°，∠EAD+∠BAF=90°，
∴∠ADE=∠BAF．
在△ADE和△BAF中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠BFA=90°}\\{∠ADE=BAF}\\{AD=BA}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴DE=AF，AE=BF．
∵點(diǎn)A（-6，0），D（-7，3），
∴DE=3，AE=1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-6+3，0+1），即（-3，1）．
故答案為：（-3，1）．
（2）設(shè)反比例函數(shù)為y=$\frac{k}{x}$，
由題意得：點(diǎn)B′坐標(biāo)為（-3+t，1），點(diǎn)D′坐標(biāo)為（-7+t，3），
∵點(diǎn)B′和D′在該比例函數(shù)圖象上，
∴k=（-3+t）×1=（-7+t）×3，
解得：t=9，k=6，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{6}{x}$．
（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（n，$\frac{6}{n}$）．
以P、Q、B′、D′四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形分兩種情況：
①當(dāng)B′D′為對(duì)角線時(shí)，
∵四邊形B′PD′Q為平行四邊形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{6}{n}-3=1}\\{m-6=2-n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{13}{2}}\\{n=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{13}{2}$，0），Q（$\frac{3}{2}$，4）；
②當(dāng)B′D′為邊時(shí)．
∵四邊形PQB′D′為平行四邊形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-n=6-2}\\{\frac{6}{n}-0=3-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=7}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴P（7，0），Q（3，2）；
∵四邊形B′QPD′為平行四邊形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{n-m=6-2}\\{0-\frac{6}{n}=3-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-7}\\{n=-3}\end{array}\right.$．
綜上可知：存在x軸上的點(diǎn)P和反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)Q，使得以P、Q、B′、D′四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，符合題意的點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)為P（$\frac{13}{2}$，0）、Q（$\frac{3}{2}$，4）或P（7，0）、Q（3，2）或（-7，0）、（-3，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及解方程組，解題的關(guān)鍵是：（1）證出△ADE≌△BAF；（2）找出關(guān)于k、t的二元一次方程組；（3）分類討論．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，找出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用反比例函數(shù)圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)反比例函數(shù)系數(shù)k是關(guān)鍵．