Question

16．如圖，正方形ABCD的邊長為2，對角線AC、BD相交于點O，將△AOD沿著AD翻折，點O恰好落在點E．
（1）求證：四邊形AODE是正方形．
（2）延長CA至點G，使AG=AD，過點G作GF⊥DA的延長線于點F，連結(jié)FO，求△DFO的面積．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)可知∠AOD=90°，OA=OD，由翻折的性質(zhì)可知OA=AE，OD=ED，從而可得到AE=AO=OD=DE，故此可得出要證明的結(jié)論；
（2）過點O作OH⊥AD于H．先證明△AFG≌△AOD，從而得到AF=AO=$\sqrt{2}$．，然后依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可求得OH=1，最后依據(jù)三角形的面積公式求解即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OD．
又∵△AOD沿著AD翻折，點O落在點E，
∴AE=AO，DO=DE．
∴AO=DO=DE=AE．
∴四邊形AODE是菱形
又∵∠AOD=90°，
∴四邊形AODE為正方形．
（2）如圖所示：過點O作OH⊥AD于H．

∵在正方形ABCD中，AD=2，∠AOD=90°，
∴AO=DO=$\sqrt{2}$．
∵GF⊥DF，
∴∠GFA=90°
∴∠AOD=∠GFA．
在△AFG和△AOD中$\left\{\begin{array}{l}{∠AOD=∠GFA}\\{∠GAF=∠OAD}\\{AD=AG}\end{array}\right.$
∴△AFG≌△AOD．
∴AF=AO=$\sqrt{2}$．
∵AO=DH，OH⊥AD，
∴H為AD的中點．
∴OH=$\frac{1}{2}$AD=1．
∴S_△FOD=$\frac{1}{2}$FD•OH=$\frac{1}{2}$×（2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）×1=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題主要考查的是正方形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，證得△AFG≌△AOD是解題的關(guān)鍵．