Question

已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)A₁，B₁，C₁分別是BC、AC、AB的中點(diǎn)，A₂，B₂，C₂分別是B₁C₁，A₁C₁，A₁B₁的中點(diǎn)，依此類(lèi)推…．若△ABC的周長(zhǎng)為1，則△A_nB_nC_n的周長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形中位線(xiàn)定理

專(zhuān)題：規(guī)律型

分析：由于A₁、B₁、C₁分別是△ABC的邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，就可以得出△A₁B₁C₁∽△ABC，且相似比為

1

2

，△A₂B₂C₂∽△ABC的相似比為

1

4

，依此類(lèi)推△A_nB_nC_n∽△ABC的相似比為

1

2n

，

解答：解：∵A₁、B₁、C₁分別是△ABC的邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，
∴A₁B₁、A₁C₁、B₁C₁是△ABC的中位線(xiàn)，
∴△A₁B₁C₁∽△ABC，且相似比為

1

2

，
∵A₂、B₂、C₂分別是△A₁B₁C₁的邊B₁C₁、C₁A₁、A₁B₁的中點(diǎn)，
∴△A₂B₂C₂∽△A₁B₁C₁且相似比為

1

2

，
∴△A₂B₂C₂∽△ABC的相似比為

1

4

依此類(lèi)推△A_nB_nC_n∽△ABC的相似比為

1

2n

，
∵△ABC的周長(zhǎng)為1，
∴△A_nB_nC_n的周長(zhǎng)為

1

2n

．
故答案為：

1

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形中位線(xiàn)定理的運(yùn)用，相似三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)．