Question

2．如圖，某小島受到了污染，污染范圍可以大致看成是以點O為圓心，AD長為直徑的圓形區(qū)域，為了測量受污染的圓形區(qū)域的直徑，在對應⊙O的切線BD（點D為切點）上選擇相距300米的B、C兩點，分別測得∠ABD=30°，∠ACD=60°．
求：
（1）直徑AD長為多少米．
（2）污染范圍的面積是多少？
（參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732）
（注意：中間過程用兩位小數(shù)，每問結果均保留整數(shù)）

Answer 1

分析 （1）先利用切線的性質(zhì)得∠ADB=90°，再利用正切的定義得到DB=$\frac{AD}{tan30°}$=$\sqrt{3}$AD，CD=$\frac{AD}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD，則利用DB-CD=300得到AD-$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=300，于是可計算出AD的長；
（2）根據(jù)圓的面積公式計算．

解答 解：∵AD為⊙O的直徑，BD為⊙O的切線，
∴AD⊥BD，∠ADB=90°，
∵BC=300米，∠ABD=30°，∠ACD=60°，
∴在Rt△ADB和Rt△ADC中，
DB=$\frac{AD}{tan30°}$=$\sqrt{3}$AD，CD=$\frac{AD}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD，
∵DB-CD=300，$\sqrt{3}$AD-$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=300，
∴AD=15$\sqrt{3}$≈150×1.73=259.5≈260（米）；
（2）污染范圍是⊙O的面積=π•OA²=3.14×130²≈5306.6≈5307（米²）．
即⊙O直徑為260米，被污染范圍的面積為5307米²．

點評 本題考查了解直角三角形：將實際問題抽象為數(shù)學問題（畫出平面圖形，構造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）．根據(jù)題目已知特點選用適當銳角三角函數(shù)或邊角關系去解直角三角形，得到數(shù)學問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實際問題的答案．也考查了切線的性質(zhì)．