Question

將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AC，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜120°）得到線段AD，連接CD．

（1）連接BD，
①如圖1，若α=80°，則∠BDC的度數(shù)為

 

；
②在第二次旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，請(qǐng)?zhí)骄俊螧DC的大小是否改變．若不變，求出∠BDC的度數(shù)；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）如圖2，以AB為斜邊作直角三角形ABE，使得∠B=∠ACD，連接CE，DE．若∠CED=90°，求α的值．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）①根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AB=AC=AD，再由圓周角定理即可得出結(jié)論；
②不變，證明過(guò)程同①；
（2）過(guò)點(diǎn)AM⊥CD于點(diǎn)M，連接EM，先根據(jù)AAS定理得出△AEB≌△AMC，故可得出AE=AM，∠BAE=∠CAM，所以△AEM是等邊三角形．根據(jù)AC=AD，AM⊥CD可知CM=DM．故可得出點(diǎn)A、C、D在以M為圓心，MC為半徑的圓上．由圓周角定理可得出結(jié)論．

解答：解：（1）①∵線段AC，AD由AB旋轉(zhuǎn)而成，
∴AB=AC=AD．
∴點(diǎn)B、C、D在以A為圓心，AB為半徑的圓上．
∴∠BDC=

1

2

∠BAC=30°．
故答案為：30°． 
②不改變，∠BDC的度數(shù)為30°．
方法一：
由題意知，AB=AC=AD．
∴點(diǎn)B、C、D在以A為圓心，AB為半徑的圓上．
∴∠BDC=

1

2

∠BAC=30°．
方法二：
由題意知，AB=AC=AD．
∵AC=AD，∠CAD=α，
∴∠ADC=∠C=

180°-α

2

=90°-

1

2

α．
∵AB=AD，∠BAD=60°+α，
∴∠ADB=∠B=

180°-(60°+α)

2

=

180°-α

2

=60°-

1

2

α．
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=（90°-

1

2

α）-（60°-

1

2

α）=30°．

（2）過(guò)點(diǎn)AM⊥CD于點(diǎn)M，連接EM．
∵∠AMD=90°，
∴∠AMC=90°．
在△AEB與△AMC中，

∠AEB=∠AMC ∠B=∠ACD AB=AC

，
∴△AEB≌△AMC（AAS）． 
∴AE=AM，∠BAE=∠CAM．
∴∠EAM=∠EAC+∠CAM=∠EAC+∠BAE=∠BAC=60°．
∴△AEM是等邊三角形．
∴EM=AM=AE． 
∵AC=AD，AM⊥CD，
∴CM=DM．
又∵∠DEC=90°，
∴EM=CM=DM．
∴AM=CM=DM． 
∴點(diǎn)A、C、D在以M為圓心，MC為半徑的圓上．
∴α=∠CAD=90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是幾何變換綜合題，涉及到圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)及圓周角定理，難度適中．