Question

在6張紙片的正面分別寫(xiě)上整數(shù)：1、2、3、4、5、6，打亂次序后，將紙片翻過(guò)來(lái)，在它們的反面也隨意分別寫(xiě)上1-6這6個(gè)整數(shù)，然后，計(jì)算每張紙片的正面與反面所寫(xiě)數(shù)字之差的絕對(duì)值，得出6個(gè)數(shù)．請(qǐng)你證明：所得的6個(gè)數(shù)中至少有兩個(gè)是相同的．

Answer 1

證明：設(shè)6張卡片正面寫(xiě)的數(shù)是a₁、a₂、a₃、a₄、a₅、a₆，反面寫(xiě)的數(shù)對(duì)應(yīng)為b₁、b₂、b₃、b₄、b₅、b₆，則這6張卡片正面寫(xiě)的數(shù)與反面寫(xiě)的數(shù)的絕對(duì)值分別為|a₁-b₁|，|a₂-b₂|，|a₃-b₃|，|a₄-b₄|，|a₅-b₅|，|a₆-b₆|．設(shè)這6個(gè)數(shù)兩兩都不相等，則它們只能取0，1，2，3，4，5這6個(gè)值．
于是|a₁-b₁|+|a₂-b₂|+|a₃-b₃|+|a₄-b₄|+|a₅-b₅|+|a₆-b₆|=0+1+2+3+4+5=15是個(gè)奇數(shù)．
另一方面，|a_i-bi|與a_i-b_i（i=1，2，3，4，5，6）的奇偶性相同．所以|a₁-b₁|+|a₂-b₂|+|a₃-b₃|+|a₄-b₄|+|a₅-b₅|+|a₆-b₆|與（a₁一b₁）+（a₂一b₂）+（a₃一b₃）+（a₄一b₄）+（a₅一b₅）+（a₆一b₆）=（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆）一（b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+b₆）=（1+2+3+4+5+6）一（1+2+3+4+5+6）=O的奇偶性相同，而0是個(gè)偶數(shù)，15是奇數(shù)，兩者矛盾．
所以，|a₁-b₁|，|a₂-b₂|，|a₃-b₃|，|a₄-b₄|，|a₅-b₅|，|a₆-b₆|這6個(gè)數(shù)中至少有兩個(gè)是相同的．