Question

6．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，點P是線段AB上的一動點，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A₁B₁C₁，點E是線段A₁C的中點，則PE長度的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$-1
• B． $\sqrt{3}$-1
• C． $\sqrt{2}$+1
• D． $\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 過點C作CD⊥AB于點D，在Rt△ACD中，根據(jù)CD=ACsin∠BAC求出CD的長，當P在AB上運動至垂足點D，△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)，點D的對應點D′在線段A₁C上時，EP最小．

解答 解：如圖，過點C作CD⊥AB于點D，

∵Rt△ABC中，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵Rt△ACD中，AC=2，
∴CD=ACsin∠BAC=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
當點P在AB上運動到點D，△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)時，點D的對應點為D′，
當點C、E、D′共線時D′E最小，即PE最小，最小值為CD′-CE=CD-CE=$\sqrt{3}-1$，
故選：B．

點評 本題考查的是圖形的旋轉(zhuǎn)、銳角三角函數(shù)的定義等知識，根據(jù)題意得出點P運動至點D、△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)到點C、E、D′共線時D′E最小，即PE最小是解題的關鍵．