Question

已知：如圖，一等邊三角形ABC紙片的邊長為2a，E是AB邊上一動點，（點E與點A、B不重合），過點E作EF∥BC，交AC于點F，設EF=x．
（1）用x的代數式表示△AEF的面積；
（2）將△AEF沿EF折疊，折疊后與四邊形BCFE重疊部分的面積為y，求出y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先根據等邊三角形的性質求得大等邊三角形的高，進一步求得其面積．再根據相似三角形的面積比是相似比的平方，求得△AEF的面積；
（2）此題應分兩種情況考慮：當折疊后△AEF的頂點A落在四邊形BCFE內或BC邊上時，重疊部分的面積即是三角形AEF的面積；當疊后△AEF的頂點A落在四邊形BCFE外點A^′處時，重疊部分的面積即是三角形AEF的面積減去A′MN的面積，根據軸對稱的性質和相似三角形的性質進行計算．

解答：解：（1）在等邊△ABC中，
作AD⊥BC于D，交EF于H，
∴BD=DC=

1

2

BC=a．
又∵tan∠ABD=tan60°=

AD

BD

，
∴AD=

3

a．（1分）
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC．
∴

AH

AD

=

EF

BC

，

AH

3 a

=

x

2a

．
∴AH=

3

2

x．（2分）
∴S_△AEF=

1

2

AH×EF．
S_△AEF=

1

2

3

2

x²=

3

4

x²．（3分）

（2）①當折疊后△AEF的頂點A落在四邊形BCFE內或BC邊上時
y=

3

4

x²（0＜x≤a）．（4分）
②當折疊后△AEF的頂點A落在四邊形BCFE外點A^′處時，

A′F交BC于M，A′E交BC于N，連接AA′交EF于H，交BC于D，

∴

AH

AD

=

x

2a

∴

AH

HD

=

x

2a-x

，
又∵AH=A′H，
∴

A′H

HD

=

x

2a-x

，
∴

A′H

A′D

=

x

2x-2a

，
∴

S△A′EF

S△A′MN

=(

x

2x-2a

)2（5分）

3 4 x2

S△A′MN

=

x2

(2x-2a)2

，
∴S_△A’_MN=

3

4

(2x-2a)2．
∴S_{四邊形MFEN}=

3

4

x²-

3

4

(2x-2a)2．（6分）
∴y=-

3 3

4

x2+2

3

ax-

3

a2（a＜x＜2a）．（7分）

點評：此題綜合運用了相似三角形的性質、等邊三角形的性質和軸對稱的性質．特別注意第2小題的兩種情況．