Question

14．如圖，AB是半圓的直徑，點C是弧AB的中點，點E是弧BC的中點，連結AE、BC交于點F，則$\frac{EF}{AF}$的值為$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．

Answer 1

分析 利用已知首先判斷△ACF∽△EHF，進而得出答案．

解答 解：如圖，設圓心為O，連接OC，AC，OE交BC于點H，
∵點E是弧BC的中點，
∴OE⊥BC，
∵AB是半圓的直徑，
∴AC⊥BC
∴EH∥AC，
∴△ACF∽△EHF，
∴$\frac{EF}{AF}=\frac{EH}{AC}$，
∵點C是弧AB的中點，
∴△ABC是等腰直角三角形，
設AC=2x，則OE=OB=$\sqrt{2}$x，
∴OH=x，EH=（$\sqrt{2}$-1）x，
∴$\frac{EF}{AF}=\frac{EH}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．

點評 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及圓周角定理，正確利用圓周角定理得出對應角相等是解題關鍵．