Question

9．觀察下列等式：
第1個等式：a₁=$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1；  第2個等式：a₂=$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；
第3個等式：a₃=$\frac{1}{\sqrt{3}+2}$=2-$\sqrt{3}$；  第4個等式：a₄=$\frac{1}{2+\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$-2；
…
按上述規(guī)律，回答以下問題：
（1）請寫出第n個等式：a_n=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（2）求a₁+a₂+a₃+…+a_n的值．

Answer 1

分析 （1）原式仿照閱讀材料中的方法：結果與分母只差一個符號，根據(jù)此規(guī)律求出值即可；
（2）分別將閱讀材料中結果依次代入，互為相反數(shù)為0，化簡即可．

解答 解：（1）a_n=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，
故答案為：$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（2）a₁+a₂+a₃+…+a_n，
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+…+$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，
=-1+$\sqrt{n+1}$．

點評 此題考查了分母有理化，弄清閱讀材料中的方法是解本題的關鍵．