Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，D為AB的中點，連接CD，過點B作BG⊥CD，分別交CD、CA于點E、F，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，連結(jié)DF．
（1）求證：AG=AD；
（2）若AB=3，求AF的長及S_△BDF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）易證∠BCD=∠ABG，即可證明△BCD和≌△ABG，可得BD=AG，根據(jù)D是AB中點即可解題；
（2）作FH⊥AB，易證∠CAB=45°和tan∠ABG的值，即可求得AH，F(xiàn)H，BH的大小關系即可求得FH的長，根據(jù)勾股定理即可求得AF的長，根據(jù)三角形面積計算公式即可求得S_△BDF，即可解題．

解答：（1）證明：∵∠BCD+∠BDC=90°，∠ABG+∠BDC=90°，
∴∠BCD=∠ABG，
在△BCD和△ABG中，

∠BCD=∠ABG BC=BA ∠DBC=∠BAG=90°

，
∴△BCD和≌△ABG（ASA），
∴BD=AG，
∵AD=BD，
∴AD=AG；
（2）作FH⊥AB，

∵∠CAB=45°，tan∠ABG=tan∠BCD=

1

2

，
∴AH=FH，tan∠ABG=

1

2

=

FH

BH

，即BH=2FH，
∵AB=AH+BH，
∴AB=FH+2FH=3FH=3，
∴FH=1，
∴AF=

AH2+FH2

=

2

，
S_△BDF=

1

2

BD•FH=

3

4

．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，考查了勾股定理在直角三角形中運用，本題中求證△BCD和≌△ABG是解題的關鍵．