Question

已知：⊙O是△ABC的內切圓，D，E，F是切點，FG⊥DE，垂足為G．求證：DG•CF=EG•BF．

Answer 1

考點：三角形的內切圓與內心

專題：證明題

分析：連接OF，OB，OC，OC，連接DF，EF，證明△DGF∽△OFC，△EGF∽△OFB，即可證明DG•CF=EG•BF．

解答：證明：連接OF，OB，OC，OC，連接DF，EF，
∵⊙O為△ABC的內切圓，
∴CE=CF，BD=BF，
∴∠FDE=∠COF，而∠DGF=∠OFC=90°，
∴△DGF∽△OFC，同理△EGF∽△OFB，
∴

DG

OF

=

GF

CF

，

GE

OF

=

GF

BF

，
∴OF•GF=GD•CF=GD•CE，
OF•GF=GE•BF=GE•BD，
∴GD•CE=GE•BD，
即DG•CF=EG•BF．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質及三角形內切圓與內心，難度適中，關鍵是巧妙作出輔助線．