Question

如圖，拋物線y=-與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C，頂點為D．動點P從A點出發(fā)沿線段AB以每秒2個單位長度的速度向終點B運動；同時動點Q從B點出發(fā)沿線段BC以每秒1個單位長度的速度向終點C運動．設運動的時間為t秒．
（1）寫出A，B，C三點的坐標和拋物線頂點D的坐標；
（2）連接PC，求當t=3時△PQC的面積；
（3）連接AD，當t為何值時，PQ∥AD；
（4）當t為何值時，△PQB為等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）運用配方法求出函數(shù)的頂點坐標即可，再結合函數(shù)圖象與x軸相交，y=0，以及與y軸相交x=0，求出交點坐標即可；
（2）首先證明△QEB∽△COB，得出，，即可得出QE的長，進而求出S_△PCB=×4×4=8，S_△PQB的面積即可得出答案；
（3）利用三角形相似得出QE=，BE=，OE=3-t，PO=7-2t，進而求出即可；
（4）分別討論得出當PB=BQ時，當PQ=BQ，△PQB為等腰三角形．
解答：解：（1）∵拋物線y=-與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），
與y軸相交于點C，頂點為D．
∴圖象與x軸的交點坐標為：
0=-，
整理得：x²+4x-21=0，
解得：x₁=3，x₂=-7，
∴A（-7，0），B（3，0），
y=-，
=-（x²+4x）+4，
=-（x²+4x+4-4）+4，
=-[（x+2）²-4]+4，
=-[（x+2）²+，
∴D點的坐標為：（-2，），
圖象與y軸的交點坐標為：y=4，
C（0，4）；

（2）過點Q做QE⊥BO，
∵動點P從A點出發(fā)沿線段AB以每秒2個單位長度的速度向終點B運動；
同時動點Q從B點出發(fā)沿線段BC以每秒1個單位長度的速度向終點C運動，
∵當t=3時，
∴AP=6，BQ=3，
BP=AB-6=10-6=4，
CO=4，BC=5，
∵QE∥CO，
∴△QEB∽△COB，
∴，
∴，
∴QE=2.4，
∴S_△PCB=×4×4=8，
S_△PQB=×PB×2.4=4.8，
∴S_△PCQ=S_△PCB-S_△PQB=8-4.8=3.2；

（3）做DF⊥AO，
∵當PQ∥AD時，
∴，
∵，
∴QE=，
∴BE=，
∴OE=3-t，
∴PO=7-2t，
∴PE=PO+OE=10-t，
∴解得：t=秒，

（4）當PB=BQ時，△PQB為等腰三角形．
∴10-2t=t，
解得：t=，
當PQ=BQ，
BE=PB=5-t，
BE=t，
∴t=5-t，
解得：t=，
當PQ=PB時，
=10-2t，
解得：t=0（舍去），t=，
故當t=，t=，t=，時，△PQB為等腰三角形．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用，二次函數(shù)與相似三角形相結合是考查的重點內容，同學們應學會分類討論的數(shù)學思想，難點在于考慮問題要全面，做到不重不漏．