Question

【題目】實(shí)踐操作

如圖①，將矩形紙片沿對(duì)角線翻折，使點(diǎn)落在矩形所在平面內(nèi)，和相交于點(diǎn)E，連接．

解決問題

（1）在圖①中，

①和的位置關(guān)系為________；

②將剪下后展開，得到的圖形是________；

（2）若圖①中的矩形變?yōu)槠叫兴倪呅螘r(shí)（），如圖②所示，結(jié)論①和結(jié)論②是否成立，若成立，請(qǐng)?zhí)暨x其中的一個(gè)結(jié)論加以證明，若不成立，請(qǐng)說明理由；

拓展應(yīng)用

（3）在圖②中，若，當(dāng)恰好為直角三角形時(shí)，求的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）①，②菱形；（2）結(jié)論仍成立．證明見解析；（3）的長(zhǎng)度為4或6或8或12．

【解析】

解：（1）①（平行）；

【解法提示】由折疊性質(zhì)知，由矩形性質(zhì)知，∴，∴，即，∴，又由題知，∴，即，∵，∴，∴．

②菱形；

【解法提示】由（1）①知，即是等腰三角形，∴剪開后得到四邊相等的四邊形即菱形．

（2）結(jié)論仍成立．

若選擇結(jié)論①，證明：

由折疊性質(zhì)知，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

若選擇結(jié)論②，證明：

如圖①，設(shè)點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，

圖①

∵四邊形是平行四邊形，

∴，

∴，

由折疊性質(zhì)知，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴四邊形為平行四邊形，

又∵，

∴四邊形為菱形；

即將剪下后展開，得到的圖形是菱形；

（3）解：情況1：如圖②，當(dāng)時(shí)，即．

圖②

同（1）①易知，

∴即，

由折疊性質(zhì)知，

在中，，∴；

情況2：如圖③，當(dāng)時(shí)，

圖③

由翻折性質(zhì)知，

∴在中，，

則，

同（1）①易知和都是等腰三角形，

∴，

∴；

情況3：如圖④，當(dāng)時(shí)，即，

圖④

由得，即，

在中，，

∴；

情況4：如圖⑤，當(dāng)時(shí)，

圖⑤

由平行四邊形性質(zhì)得，

，

∴，

同（1）①易知和都是等腰三角形，

∴，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∴．

綜上所述，的長(zhǎng)度為4或6或8或12．