Question

在平面直角坐標系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2）．延長CB交x軸于點A₁，作第1個正方形A₁B₁C₁C；延長C₁B₁交x軸于點A₂，作第2個正方形A₂B₂C₂C₁，…，按這樣的規(guī)律進行下去，第2016個正方形的面積是　　　　　　．

　

Answer 1

5×（）⁴⁰³²【考點】正方形的性質；坐標與圖形性質．

【專題】規(guī)律型．

【分析】先利用勾股定理求出AB=BC=AD，再用三角形相似得出A₁B=，A₂B₂=（）²，找出規(guī)律A₂₀₁₆B₂₀₁₆=（）²⁰¹⁶，即可．

【解答】解：∵點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2），

∴OA=1，OD=2，BC=AB=AD=

∵正方形ABCD，正方形A₁B₁C₁C，

∴∠OAD+∠A₁AB=90°，∠ADO+∠OAD=90°，

∴∠A₁AB=∠ADO，

∵∠AOD=∠A₁BA=90°，

∴△AOD∽△A₁BA，

∴，

∴，

∴A₁B=，

∴A₁B₁=A₁C=A₁B+BC=，

同理可得，A₂B₂==（）²，

同理可得，A₃B₃=（）³，

同理可得，A₂₀₁₆B₂₀₁₆=（）²⁰¹⁶，

∴S正方形C₂₀₁₅C₂₀₁₆B₂₀₁₆A₂₀₁₆=[（）²⁰¹⁶]²=5×（）⁴⁰³²，

故答案為5×（）⁴⁰³²

【點評】此題是正方形的性質題，主要考查正方形的性質，勾股定理，相似三角形的性質和判定，解本題的關鍵是求出幾個正方形的邊長，找出規(guī)律．